华里士公式的证明过程

华里士公式是定积分计算中一个非常常用的公式之一，除了可以快速求三角函数$n$次幂的积分外，形状也非常好记，也被称为点火公式。

在求二重积分的过程中，也经常会把原积分转化为三角函数的$n$次幂形式，所以尝试证明这个公式还是很有实践价值的。

华里士公式有多种变体，主要可以归纳为两个：

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}S{C}^n\left(x\right)dx=\frac{\left(n-1\right)!!}{n!!}{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{\left(n+1\mathrm{mod}2\right)}$$

$$\frac{\pi }{2}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left(2n\right)!!}{\left(2n-1\right)!!}\times \frac{\left(2n\right)!!}{\left(2n+1\right)!!}$$

由于常用的公式为第一个，所以在此先证明第一个公式。

首先证明

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx$$

$$I_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx\stackrel{t=\frac{\pi }{2}-x}{\to }{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^0{\sin }^n\left(\frac{\pi }{2}-t\right)\left(-dt\right)={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}tdt$$

接下来对$I_n$分部积分

$$\begin{array}{rl}{I}_n& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n-1}xd(-\cos x)\\ & =-{\sin }^{n-1}x\cos x{\mid }_0^{\frac{\pi }{2}}+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos x\cdot (n-1)\cdot {\sin }^{n-2}x\cos xdx\\ & =(n-1){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}x{\sin }^{n-2}xdx\\ & =(n-1){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left(1-{\sin }^{2}x\right){\sin }^{n-2}xdx\\ & =(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n\\ & \Rightarrow I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}\end{array}$$

由此，就可以发现，这是一个套娃的过程。

$$\begin{array}{rl}{I}_n& =\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \frac{n-5}{n-4}...\end{array}$$

当$n$为偶数时：

$$\begin{array}{rl}{I}_n& =\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \frac{n-5}{n-4}...\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot I_0=\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot I_0\end{array}$$

其中$I_0$为：

$$\begin{array}{r}{I}_0={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{0}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}dx=\frac{\pi }{2}\end{array}$$

当$n$为奇数时：

$$\begin{array}{rl}{I}_n& =\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \frac{n-5}{n-4}...\frac{3}{4}\cdot I_1=\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot I_1\end{array}$$

其中$I_1$为：

$$\begin{array}{r}{I}_1={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{1}xdx=-\cos x{\mid }_0^{\frac{\pi }{2}}=1\end{array}$$

综上：

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}{I}_n& =\{\text{displaylines}\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot \frac{\pi }{2},n为偶数 \\ \frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot 1,n为奇数\end{array} \end{gathered}$$

令$SC(x)=\sin x$或$\cos x$

$$\begin{array}{rl}{I}_n& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}S{C}^n(x)dx=\frac{(n-1)!!}{n!!}(\frac{\pi }{2}{)}^{(n+1\mathrm{mod}2)}\end{array}$$

在应用时，还需要注意$SC(x)$的奇数次幂的周期性和对称性和$SC(x)$相同，$SC(x)$的偶数次幂的周期性和对称性和$|SC(x)|$相同。