华里士公式的证明过程

华里士公式是定积分计算中一个非常常用的公式之一，除了可以快速求三角函数\(n\)次幂的积分外，形状也非常好记，也被称为点火公式。

在求二重积分的过程中，也经常会把原积分转化为三角函数的\(n\)次幂形式，所以尝试证明这个公式还是很有实践价值的。

华里士公式有多种变体，主要可以归纳为两个： \[ \int_ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } SC^n\left ( x \right) dx= \frac { \left( n - 1 \right)!! } { n!! } \left(\frac { \pi } { 2 } \right)^ { \left (n+1\mod2 \right) } \]

\[ \frac{\pi}{2}= \lim_{n \to \infty} \frac{\left(2n \right)!!}{\left(2n-1 \right)!!} \times \frac{\left(2n \right)!!}{\left(2n+1 \right)!!} \] 由于常用的公式为第一个，所以在此先证明第一个公式。

首先证明 \[ \int _0 ^{\frac{\pi}{2} } \sin ^n {x} dx = \int _0 ^{\frac{\pi}{2} } \cos ^n {x} dx \]

\[ I_n=\int _0 ^{\frac{\pi}{2} } \sin ^n {x} dx \xrightarrow{t=\frac{\pi}{2}-x} \int ^{0}_{-\frac{\pi}{2} } \sin ^n {\left (\frac{\pi}{2}-t \right)} \left( -dt \right) =\int ^{\frac{\pi}{2} } _{0} \cos ^ n {t} dt \]

接下来对\(I_n\)分部积分 \[ \begin{align} I_n & = \int _0 ^{\frac{\pi}{2} } \sin ^n {x} dx = \int _0 ^{\frac{\pi}{2} } \sin ^{n-1} {x}d(-\cos {x})\\ & = -\sin^{n-1}{x}\cos{x} \mid ^{\frac{\pi}{2} } _{ {\small} 0} + \int _0 ^{\frac{\pi}{2} } \cos {x} \cdot (n-1) \cdot \sin^{n-2}{x} \cos{x} dx\\ & = (n-1)\int _0 ^{\frac{\pi}{2} } \cos^2{x} \sin ^{n-2}{x}dx\\ & = (n-1)\int _0 ^{\frac{\pi}{2} } \left( 1 - \sin^2{x} \right) \sin ^{n-2}{x}dx\\ & = (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n \\ & \Rightarrow {\color{Red} I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}} \end{align} \] 由此，就可以发现，这是一个套娃的过程。 \[ \begin{align} I_n & = \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\frac{n-5}{n-4}... \end{align} \] 当\(n\)为偶数时： \[ \begin{align} I_n & = \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\frac{n-5}{n-4}...\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot I_0 =\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot I_0 \end{align} \] 其中\(I_0\)为： \[ \begin{align} I_0=\int^{\frac{\pi}{2} } _{0} \sin ^ {0} {x}dx=\int ^{\frac{\pi}{2} } _{0} dx = {\color{Red} \frac{\pi}{2} } \end{align} \] 当\(n\)为奇数时： \[ \begin{align} I_n & = \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\frac{n-5}{n-4}...\frac{3}{4}\cdot I_1 =\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot I_1 \end{align} \]

其中\(I_1\)为： \[ \begin{align} I_1 = \int ^{\frac{\pi}{2} } _{0} \sin ^1 {x} dx = -\cos {x} \mid ^{\frac{\pi}{2} } _{0} = {\color{Red} 1} \end{align} \]

综上： \[ \begin{align} I_n & = \Biggl\{ \displaylines{\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot \frac{\pi}{2},n为偶数\\\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot 1,n为奇数} \end{align} \] 令\(SC(x)=\sin{x}\)或\(\cos{x}\) \[ \begin{align} I_n & = \int ^{\frac{\pi}{2} } _{0} \sin ^{n} {x} dx = \int ^{\frac{\pi}{2} } _{0} \cos^{n} {x} dx \\ & = {\color{Red} \int ^{\frac{\pi}{2} } _{0} SC^n{(x)} dx = \frac{(n-1)!!}{n!!} (\frac{\pi}{2}) ^ {(n + 1 \mod 2)} } \end{align} \] 在应用时，还需要注意\(SC(x)\)的奇数次幂的周期性和对称性和\(SC(x)\)相同，\(SC(x)\)的偶数次幂的周期性和对称性和\(|SC(x)|\)相同。